FACULTAD DE EDUCACIÓN INFLUENCIA DE LA TÉCNICA DE LA CUERDA DE LOS DOCE NUDOS EN LA COMPRENSIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS EN ESTUDIANTES DEL CURSO DE PREPARACIÓN UNI DE LA ACADEMIA CESAR VALLEJO TRABAJO DE SUFICIENCIA PROFESIONAL Para optar el título profesional de Licenciado en Educación Secundaria. Esp.: Matemática y Estadística AUTOR: Rafael Enrique Paxi Gavilán https://orcid.org/0009-0002-2307-0733 ASESOR Dra Lorena Margarita Gallegos Vela https://orcid.org/0000-0001-5707-6960 LIMA - PERÚ-2025 https://orcid.org/0009-0002-2307-0733 https://orcid.org/0000-0001-5707-6960 Turnitin Informe de Originalidad Procesado el: 30-abr.-2025 3:43 p. m. -05 Identificador: 2662467978 Número de palabras: 6122 Entregado: 1 INFLUENCIA DE LA TÉCNICA DE LA CUERDA DE LOS DOCE NUDOS EN LA COMPRENSIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS EN ESTUDIANTES DEL CURSO DE PREPARACIÓN UNI DE LA ACADEMIA CESAR VALLEJO Por Rafael Enrique Paxi Gavilan Índice de similitud 7% Internet Sources: 7% Publicaciones: 4% Trabajos del estudiante: 4% Similitud según fuente 2% match (Internet desde 03-jun.-2024) http://intra.uigv.edu.pe/bitstream/handle/20.500.11818/8281/TSP- URBANO%20GARIBAY%20CRISTOPHER%20JOEL%20-%20RP%20-.pdf? isAllowed=y&sequence=1 1% match (Internet desde 13-dic.-2023) http://intra.uigv.edu.pe/bitstream/handle/20.500.11818/7507/TSP- INCA%20OTERO%20BRANDO%20JAHIR-RP.pdf?isAllowed=y&sequence=1 1% match (publicaciones) Editorial Mar Caribe, María Maura Cámac Tiza, Marisol Paola Delgado Baltazar, Teodulo Aquilino Reyes Santos et al. "El pensamiento lógico matemático: Concepciones y enseñanza en el aula de clases", Open Science Framework, 2023 1% match (Internet desde 20-nov.-2023) http://latam.redilat.org/index.php/lt/article/download/1333/1663/2038 1% match () Buitrago Valencia, Jorge Alexander. "La metodología de la indagación en la práctica docente, al implementar una unidad didáctica para la enseñanza del teorema de Pitágoras", Maestría en Educación, 2018 1% match (Internet desde 30-nov.-2024) https://conceptualista.com/teorema-de-pitagoras/ 1% match (publicaciones) Editorial Mar Caribe, Juan Herber Grados Gamarra, Carlos Andrés Canales Escalante, Abilio Bernardino Cuzcano Rivas et al. "Capacidades de los sistemas educativos latinoamericanos para la aplicación de las herramientas digitales como el aula invertida", Open Science Framework, 2023 1% match (Internet desde 25-ago.-2021) 23/5/25, 16:28 Turnitin - Informe de Originalidad - INFLUENCIA DE LA TÉCNICA DE LA CUERDA DE LOS DOCE NUDOS EN LA COMPRENSI… file:///C:/Users/Administrativo/Downloads/SUFICIENCIA - GRUPO NOVIEMBRE (4)/SUFICIENCIA - GRUPO NOVIEMBRE/REPORTE TURNITI… 1/12 DEDICATORIA Dedicado mi trabajo a mis familiares quienes han sido un gran impulso para seguir avanzando y mejorar cada día AGRADECIMIENTO A la Universidad Inca Garcilaso de la Vega por la oportunidad y facilitarme el proceso para obtener mi título profesional y al Instituto de Ciencias y Humanidades por darme la experiencia en cada una de sus aulas RESUMEN El presente trabajo tiene como objetivo comprender y analizar la influencia de la técnica de la cuerda de los doce nudos como herramienta práctica en la comprensión del Teorema de Pitágoras en estudiantes del curso de preparación para la UNI en la Academia César Vallejo. Esta investigación plantea facilitar el aprendizaje del teorema geométrico mediante actividades prácticas y manipulativas, integrando conceptos históricos y geométricos con enfoques modernos de enseñanza para fortalecer el vínculo entre la teoría y la práctica. A través de un diseño didáctico basado en la metodología experimental, se promueve el aprendizaje activo y la participación directa de los alumnos en la exploración de propiedades geométricas, utilizando la cuerda de los doce nudos como recurso central. Se desarrollaron actividades en las que los alumnos pudieron construir triángulos rectángulos, verificar relaciones matemáticas y aplicar estos conocimientos en problemas concretos, lo que permitió una interacción más significativa con los conceptos abstractos. Los resultados que se obtuvieron muestran que la implementación de esta técnica no solo mejoró significativamente la comprensión del Teorema de Pitágoras, sino que también incrementó el interés y la motivación de los estudiantes hacia el estudio de la geometría. Además, se observó un impacto positivo en el desarrollo de habilidades prácticas, pensamiento crítico y resolución de problemas, consolidando la cuerda de los doce nudos como un método didáctico, eficaz para la enseñanza de conceptos matemáticos fundamentales. Palabras clave: Teorema de Pitágoras, cuerda de doce nudos, geometría, aprendizaje activo, participación directa, metodología didáctica. ABSTRACT This study aims to understand and analyze the influence of the twelve-knot rope technique as a practical tool for comprehending the Pythagorean Theorem among students in the UNI preparation course at the César Vallejo Academy. The research seeks to facilitate the learning of this geometric theorem through hands-on and manipulative activities, integrating historical and geometric concepts with modern teaching approaches to strengthen the connection between theory and practice. Using a didactic design based on experimental methodology, the study promotes active learning and direct student participation in exploring geometric properties. The twelve- knot rope served as the central resource in activities where students constructed right triangles, verified mathematical relationships, and applied these concepts to real-world problems, fostering a deeper engagement with abstract ideas. The findings reveal that implementing this technique not only significantly improved students' understanding of the Pythagorean Theorem but also enhanced their interest and motivation toward studying geometry. Additionally, the technique positively impacted the development of practical skills, critical thinking, and problem-solving abilities, establishing the twelve-knot rope as an effective pedagogical method for teaching fundamental mathematical concepts. Keywords: Pythagorean Theorem, twelve-knot rope, geometry, active learning, direct participation, didactic methodology. INDICE GENERAL DEDICATORIA ................................................................................................................ 3 AGRADECIMIENTO ....................................................................................................... 4 RESUMEN ........................................................................................................................ 5 Abstract .............................................................................................................................. 6 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 9 CAPÍTULO 1: MARCO TEÓRICO DE LA INVESTIGACIÓN ................................... 11 1.1 ASPECTOS GENERALES ............................................................................. 11 1.2 MARCO HISTÓRICO .................................................................................... 13 1.3 BASES TEÓRICAS ........................................................................................ 13 1.4 MARCO LEGAL ............................................................................................ 15 1.5 ANTECEDENTES DEL ESTUDIO ............................................................... 17 1.6 MARCO CONCEPTUAL ............................................................................... 18 CAPÍTULO II: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .............................................. 21 2.1 Descripción de la realidad problemática ......................................................... 21 2.2 Formulación del problema general y específicos ............................................ 21 2.3 Objetivo general y específicos ......................................................................... 22 CAPÍTULO III: JUSTIFICACIÓN Y DELIMITACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN .. 23 3.1 Justificación e importancia del estudio ............................................................ 23 3.2 Delimitación del estudio .................................................................................. 23 CAPÍTULO IV: FORMULACIÓN DEL DISEÑO ........................................................ 25 4.1 Diseño esquemático ......................................................................................... 25 4.2 Descripción de los aspectos básicos del diseño ............................................... 26 CAPITULO V: PRUEBA DE DISEÑO .......................................................................... 27 5.1 Aplicación de la propuesta de solución ........................................................... 27 CONCLUSIONES ........................................................................................................... 29 RECOMENDACIONES ................................................................................................ 30 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 30 ANEXOS ........................................................................................................................ 32 INTRODUCCIÓN La enseñanza de las matemáticas y, en particular, de la geometría, representa un desafío constante en la formación de los estudiantes de nivel secundario y preuniversitario. El Teorema de Pitágoras, considerado uno de los pilares fundamentales de la geometría, no solo es esencial para el desarrollo del razonamiento lógico, sino que también fomenta habilidades como la resolución de problemas y el análisis crítico, competencias clave en el ámbito académico y profesional. En este contexto, la implementación de estrategias didácticas que vinculen conceptos teóricos con aplicaciones prácticas se vuelve primordial para lograr aprendizajes significativos, según García (2020) y Martínez (2021). Este trabajo de suficiencia profesional tiene como objetivo abordar la problemática relacionada con la comprensión limitada del Teorema de Pitágoras entre los estudiantes de secundaria y su aplicación en situaciones concretas. En la actualidad, la enseñanza tradicional basada en la memorización de fórmulas ha demostrado ser insuficiente para motivar a los estudiantes y generar un entendimiento profundo de los conceptos matemáticos. Según Rodríguez (2019), este enfoque limita la capacidad de los estudiantes para aplicar conocimientos en contextos reales. Por ello, se plantea un enfoque innovador basado en metodologías activas, como el uso de herramientas manipulativas y actividades prácticas, entre ellas la cuerda de los doce nudos, una técnica empleada desde la antigüedad para construir triángulos rectángulos, y la resolución de problemas en contextos cotidianos, según López (2022). El estudio se centra en los estudiantes del ciclo Anual UNI de la Academia César Vallejo, un grupo caracterizado por su preparación intensiva para ingresar a la Universidad Nacional de Ingeniería. Este público presenta altas exigencias académicas y enfrenta un entorno competitivo, lo que hace aún más relevante la implementación de estrategias efectivas de enseñanza. Además, considerando el contexto socioeconómico de los estudiantes, que a menudo provienen de sectores de clase media y media-baja, este trabajo busca proponer soluciones educativas accesibles que potencien su rendimiento académico y aumenten sus oportunidades de éxito, según Torres (2023) y Muñoz (2022). La introducción incluye un análisis detallado de la institución educativa, destacando su enfoque en la excelencia académica, así como en la preparación preuniversitaria. Asimismo, se contextualiza la importancia del Teorema de Pitágoras en la formación matemática de los estudiantes, enfatizando cómo su adecuada enseñanza puede contribuir al desarrollo integral de los alumnos, no sólo en términos académicos, sino también en su capacidad de afrontar retos de la vida real. Estudios recientes, como los de Jiménez (2020) y Pérez (2021), han demostrado que la aplicación de estrategias didácticas innovadoras mejora significativamente la comprensión y el interés por las matemáticas, especialmente en contextos preuniversitarios. Este trabajo, por tanto, no solo propone una solución didáctica a un problema concreto, sino que también busca generar un impacto favorable en la calidad de la enseñanza de la geometría en el nivel secundario. Al documentar y analizar los resultados obtenidos, se espera contribuir al desarrollo de nuevas estrategias pedagógicas aplicables en otros contextos educativos similares, fortaleciendo así el compromiso con una educación inclusiva y de calidad. Como señala el informe de la UNESCO (2023), estrategias educativas basadas en la inclusión y la equidad son fundamentales para reducir las brechas de aprendizaje y garantizar un futuro prometedor para todos los estudiantes. CAPÍTULO 1: MARCO TEÓRICO DE LA INVESTIGACIÓN 1.1 ASPECTOS GENERALES Especificación de la Institución Educativa El Instituto de Ciencias y Humanidades (ICH) es una organización educativa sin fines de lucro, comprometida con ofrecer una formación integral y de excelencia a estudiantes de diversas procedencias. Su misión se centra en fomentar la investigación y el desarrollo académico mediante diversas iniciativas. Entre sus principales unidades educativas destacan la Academia César Vallejo, ADUNI y el Colegio Bertolt Brecht. Además, el ICH promueve la producción intelectual a través de la editorial Lumbreras y otros proyectos vinculados a la educación superior y preuniversitaria, consolidando su impacto. Figura 1: Fachada de la Academia Aduni y Cesar Vallejo - sede Breña Descripción del Servicio Educativo Brindado La Academia César Vallejo, parte del ICH, está orientada a preparar estudiantes para el ingreso a las principales universidades del país, como la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI). Ofrece programas académicos diseñados de acuerdo con los exigentes estándares de los exámenes de admisión, combinando clases teóricas, talleres prácticos y recursos tecnológicos avanzados, tanto en modalidades presenciales como virtuales. Su metodología busca no solo el éxito académico, sino también la formación integral de sus alumnos. Ubicación geográfica y contexto socio económico Ubicación geográfica La Academia César Vallejo cuenta con varias sedes, destacando como sede principal la ubicada en la avenida Bolivia N.º 537, en el distrito de Breña, Lima, capital del Perú. Esta sede se encuentra estratégicamente situada cerca de la avenida Alfonso Ugarte, frente a la Institución Educativa Nuestra Señora de Guadalupe. Figura 2: Ubicación de la Academia Aduni y Cesar Vallejo Contexto socioeconómico El público objetivo de la Academia César Vallejo incluye estudiantes provenientes de sectores socioeconómicos diversos, particularmente aquellos de clases media y media- baja que aspiran a acceder a universidades públicas de prestigio. Este enfoque responde a la misión del ICH de democratizar la educación de calidad, ofreciendo programas accesibles que potencian las oportunidades educativas y profesionales de sus alumnos. 1.2 MARCO HISTÓRICO El Teorema de Pitágoras, formulado en la antigua Grecia, es un pilar fundamental de la geometría y las matemáticas. Aunque atribuido a Pitágoras y su escuela, principios similares ya se utilizaban en civilizaciones como la babilónica y la egipcia. En particular, los egipcios empleaban la cuerda de los doce nudos, una herramienta que permitía trazar triángulos rectángulos con proporciones 3:4:5, facilitando la construcción de ángulos rectos. Este método práctico y efectivo, como menciona López (2022), demuestra un conocimiento empírico avanzado y tiene un gran potencial didáctico para la enseñanza moderna. El Teorema de Pitágoras no solo integra conceptos teóricos con aplicaciones prácticas, sino que también fomenta el desarrollo del pensamiento crítico y habilidades de resolución de problemas en los estudiantes. Sin embargo, García (2020) señala que su enseñanza enfrenta desafíos en los contextos educativos actuales, lo que ha impulsado la adopción de estrategias innovadoras como la cuerda de los doce nudos. Al usar materiales concretos y métodos históricos, los estudiantes no solo comprenden mejor el teorema, sino que también desarrollan una mayor motivación y aprecio por la evolución cultural de las matemáticas. 1.3 BASES TEÓRICAS El Teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras indica que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Este principio ha sido utilizado y comprobado a lo largo de la historia por distintas culturas. Según García (2020), su aplicación no solo abarca el ámbito matemático, sino que también influye en áreas como la arquitectura, ingeniería y física, siendo una herramienta esencial para comprender relaciones geométricas fundamentales. La Cuerda de los Doce Nudos La cuerda de los doce nudos fue utilizada por los antiguos egipcios como una herramienta práctica para construir triángulos rectángulos y trazar ángulos rectos en estructuras arquitectónicas. Sánchez y Arnaldo (2021) explican que la cuerda se dividía en 12 segmentos iguales, los cuales, al formar proporciones de 3:4:5, generaban un triángulo rectángulo perfecto. En el contexto educativo, esta técnica se ha redescubierto como un recurso manipulativo que facilita el aprendizaje del Teorema de Pitágoras al permitir a los estudiantes interactuar de manera concreta con conceptos geométricos abstractos. Aprendizaje Activo y Manipulativo El aprendizaje activo, según Dewey (1916), implica la participación directa del estudiante en actividades prácticas que promueven la construcción de conocimiento. En este marco, Torres (2023) sugiere que el uso de herramientas manipulativas, como la cuerda de los doce nudos, refuerza la comprensión conceptual al conectar la teoría con actividades prácticas. Además, Martínez (2021) enfatiza que este enfoque fomenta habilidades como el pensamiento crítico y la resolución de problemas. Contexto didáctico La enseñanza del Teorema de Pitágoras enfrenta desafíos en su aplicación práctica en el aula. Según López (2022), los métodos tradicionales basados únicamente en explicaciones teóricas han mostrado limitaciones al tratar de transmitir la relación geométrica de manera significativa. En contraste, la integración de prácticas, como la construcción de actividades de triángulos con cuerdas, no solo facilita la comprensión, sino que también promueve el interés y la motivación de los estudiantes. Relevancia Cultural e Histórica El uso de herramientas históricas como la cuerda de los doce nudos no solo enriquece la enseñanza del Teorema de Pitágoras, sino que también conecta a los estudiantes con las raíces culturales y la evolución del conocimiento matemático. Rojas (2021) subraya que incorporar estos elementos históricos en el aula fortalece la contextualización y da un sentido más amplio a los conceptos matemáticos, ayudando a los estudiantes a verlos como parte de un legado universal. Importancia para el Aprendizaje Significativo Ausubel (1963) define el aprendizaje significativo como aquel en el que los nuevos conocimientos se relacionan de manera sustancial con lo que ya sabe el estudiante. En este marco, la técnica de la cuerda de los doce nudos se convierte en un puente que conecta los saberes previos con nuevas experiencias matemáticas. Según Faggiano et al. (2020), el uso de herramientas manipulativas fomenta una comprensión más profunda y duradera, ya que involucra activamente al estudiante en la construcción del conocimiento. Perspectivas futuras El uso de estrategias manipulativas en la enseñanza de matemáticas, como la cuerda de los doce nudos, se relaciona con las tendencias actuales en educación. Investigaciones recientes indican que el empleo de materiales manipulativos ayuda a mejorar el aprendizaje, ya que permite a los estudiantes experimentar y observar de manera directa, facilitando así la comprensión de los conceptos matemáticos (Vásquez, 2023). Asimismo, el uso de herramientas tecnológicas como GeoGebra en la enseñanza de geometría ha demostrado ser una forma efectiva de mejorar el aprendizaje. Estas herramientas permiten a los estudiantes interactuar con los conceptos y visualizarlos de manera más clara, lo que refuerza su comprensión (González & Ramírez, 2024). Estos hallazgos sugieren que es importante seguir investigando cómo combinar métodos manipulativos y tecnología en distintos niveles educativos y contextos, para que el aprendizaje sea más accesible y efectivo para todos los estudiantes. 1.4 MARCO LEGAL El presente trabajo se enmarca en las normativas nacionales que rigen la educación en el Perú y que orientan la práctica docente hacia el logro de una enseñanza significativa, inclusiva y alineada con las necesidades del siglo XXI. A continuación, se detallan los fundamentos legales que respaldan esta experiencia educativa: Ley general de educación del Perú (Ley N° 28044) Esta ley establece los principios básicos que guían la educación en el Perú. En su artículo 3, enfatiza la necesidad de garantizar una formación integral que desarrolle las capacidades de los estudiantes en un marco de equidad e inclusión. La ley también promueve el uso de estrategias pedagógicas diversificadas que responden a las necesidades específicas de los estudiantes, lo que respalda la aplicación de metodologías innovadoras, como la técnica de la cuerda de los doce nudos, para mejorar la enseñanza de la geometría. Currículo Nacional de Educación Básica (RM N° 281-2016-MINEDU) El Currículo Nacional de Educación Básica establece que la enseñanza de la geometría debe fomentar habilidades de pensamiento lógico, resolución de problemas y conexión con el entorno. Dentro de las competencias del área de Matemática, se destaca la capacidad de utilizar conceptos y procedimientos geométricos para interpretar y resolver situaciones del mundo real. En este contexto, la integración de herramientas históricas como la cuerda de los doce nudos permite conectar el aprendizaje con experiencias prácticas y culturales, enriqueciendo el proceso educativo. Ley Universitaria (Ley N° 30220) En el artículo 26, esta ley promueve la relación entre la formación profesional y la investigación aplicada, fomentando estrategias que fortalezcan la práctica docente a partir de experiencias significativas. Este trabajo, al documentar y reflexionar sobre la implementación de metodologías didácticas basadas en la práctica, cumple con los principios de innovación pedagógica y mejora continua en la enseñanza. Políticas Educativas de Inclusión y Diversidad El Ministerio de Educación del Perú (MINEDU) establece políticas que reconocen y valoran la diversidad cultural y la inclusión en la educación. La técnica de la cuerda de los doce nudos, además de ser una herramienta geométrica, representa un rescate de saberes ancestrales que conectan la enseñanza moderna con prácticas tradicionales, fomentando un aprendizaje inclusivo y respetuoso de la diversidad cultural. Marco Ético del Docente El Código de Ética del Educador Peruano, aprobado por el MINEDU, resalta la importancia de promover aprendizajes significativos que contribuyan al desarrollo integral de los estudiantes. Este trabajo, basado en la experiencia docente, refleja el compromiso ético de diseño y aplicación de estrategias pedagógicas que generan un impacto positivo en la formación académica y personal de los estudiantes. Normativa de Evaluación y Mejora Continua Las disposiciones legales establecen la importancia de evaluar y reflexionar sobre la práctica docente como parte del desarrollo profesional. Este trabajo de suficiencia profesional documenta una experiencia práctica de enseñanza que integra elementos innovadores y tradicionales, contribuyendo a la mejora continua del proceso educativo y respondiendo a las demandas de calidad de la educación peruana. 1.5 ANTECEDENTES DEL ESTUDIO La enseñanza del Teorema de Pitágoras ha sido ampliamente explorada en distintos contextos educativos, destacando la importancia de integrar elementos históricos, manipulativos y tecnológicos para fomentar un aprendizaje significativo. A continuación, se presentan antecedentes relevantes relacionados con este enfoque: Antecedentes internacionales A nivel internacional, la incorporación de la historia de las matemáticas y métodos manipulativos en la enseñanza del Teorema de Pitágoras ha sido ampliamente discutida. En España, el autor Ricardo Alonso (2020) documenta cómo la cuerda de los doce nudos se utiliza para enseñar el Teorema de Pitágoras en las aulas de secundaria, subrayando su efectividad en la comprensión de la relación entre los lados de un triángulo a través de la experimentación práctica. Alonso afirma que esta técnica, que permite a los estudiantes construir su propio triángulo rectángulo, facilita la transición de la teoría a la práctica y fomenta el aprendizaje activo. En América Latina, Pérez (2019) en su investigación sobre la didáctica de la geometría, resalta que la utilización de herramientas manipulativas como la cuerda de los doce nudos mejora la comprensión geométrica de los estudiantes, ya que les permite experimentar directamente con los conceptos matemáticos. Antecedentes Nacionales En el contexto educativo peruano, el uso de métodos manipulativos en la enseñanza de la geometría, especialmente el Teorema de Pitágoras, ha recibido atención por su potencial para mejorar la comprensión de los alumnos. El Ministerio de Educación del Perú (2020) resalta la necesidad de implementar estrategias diversificadas que faciliten la comprensión de conceptos matemáticos fundamentales a través de métodos prácticos. El uso de la cuerda de los doce nudos, como recurso manipulativo, se ha explorado en varias instituciones educativas para enseñar geometría de manera más concreta y aplicada. Además, investigaciones recientes, como las realizadas por el Instituto de Estudios Educativos y Sociales (2021), han evidenciado que los enfoques que integran herramientas históricas, como la cuerda de los doce nudos, aumentan la motivación y el interés de los estudiantes por aprender matemáticas, promoviendo un aprendizaje significativo. 1.6 MARCO CONCEPTUAL Teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras es una regla matemática muy importante en geometría que dice que, en el triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. Este teorema se usa en muchas áreas como la ingeniería, física y arquitectura, ya que ayuda a calcular distancias y medidas con precisión (National Geographic, 2022). Aunque por historia se le atribuye a Pitágoras de Samos como la persona quien fue quien demostró este teorema, algunos estudios han encontrado pruebas de que civilizaciones antiguas, como los babilonios y egipcios, ya lo conocían y lo usaban en sus construcciones y mediciones de terrenos (Barrantes López, Barrantes Masot & Zamora Rodríguez, 2020). Cuerda de los Doce Nudos La cuerda de los doce nudos es una herramienta geométrica utilizada históricamente por los egipcios para trazar ángulos rectos en la construcción de estructuras. Consiste en una cuerda dividida en doce segmentos iguales, formando un triángulo con proporciones 3:4:5, que corresponde al Teorema de Pitágoras. Esta técnica ha sido redescubierta como una herramienta didáctica que facilita la enseñanza de la geometría al proporcionar a los estudiantes una experiencia práctica de los conceptos que estudian. Aprendizaje activo El aprendizaje activo es una metodología pedagógica en la que el estudiante participa activamente en el proceso de aprendizaje mediante actividades prácticas, discusiones, resolución de problemas y experimentación. Según Piaget (1973) y Vygotsky (1978), este enfoque promueve el desarrollo de habilidades cognitivas y sociales al involucrar a los estudiantes en la construcción de su propio conocimiento, en contraposición a métodos pasivos como la enseñanza tradicional basada únicamente en la recepción de información. Metodología manipulativa La metodología manipulativa se refiere al uso de materiales concretos que permiten a los estudiantes explorar y experimentar con conceptos abstractos. En el contexto de la enseñanza del Teorema de Pitágoras, herramientas como la cuerda de los doce nudos proporcionan una representación física de los conceptos geométricos, lo que facilita la comprensión de relaciones matemáticas complejas. Esta metodología ha sido ampliamente documentada por autores como Nelsen (1993), quien subraya su importancia para la comprensión profunda y la retención del conocimiento. Geometría Aplicada La geometría aplicada implica aplicar conceptos geométricos para solucionar problemas reales en diferentes disciplinas, un ejemplo notable es el Teorema de Pitágoras. Su relevancia se manifiesta en su uso generalizado en campos como arquitectura, ingeniería y navegación para calcular distancias y asegurar precisión en múltiples construcciones. (Ministerio de Educación del Perú, 2020). En la construcción, este teorema es fundamental para calcular longitudes en estructuras cuadradas, lo que garantiza la seguridad de edificios y puentes. Cáceres Ochoa (2023) señalan que el uso de herramientas manipulativas, como la cuerda de los doce nudos, facilita que los alumnos visualicen y comprendan mejor estas ideas, ya que les permite representar físicamente los triángulos rectángulos y sus relaciones métricas. De igual forma, en el campo de la navegación, el Teorema de Pitágoras se aplica para medir trayectorias y distancias entre diferentes ubicaciones geográficas. Clavijo (2021) observa que los navegantes utilizan este principio para identificar rutas más efectivas y prevenir desviaciones de su rumbo, lo cual subraya la utilidad de la geometría en situaciones cotidianas. Desde una visión histórica, la cuerda de los doce nudos representa un ejemplo claro de la utilización de la geometría. Existen registros de que los antiguos egipcios la empleaban para marcar ángulos rectos y establecer medidas precisas durante la construcción de templos y pirámides (González Y Ramírez, 2024). Este método, que se basa en la manipulación directa de elementos geométricos, continúa siendo una herramienta de gran valor en la educación, ya que facilita la conexión entre conceptos teóricos y su aplicación práctica. Incorporar estas estrategias en la enseñanza de la geometría favorece un aprendizaje significativo y práctico, permitiendo que los alumnos adquieran habilidades matemáticas a través de experiencias directas (Vásquez, 2023). CAPÍTULO II: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 2.1 Descripción de la realidad problemática En la educación preuniversitaria, la enseñanza de conceptos geométricos, como el Teorema de Pitágoras, presenta desafíos significativos. A pesar de ser un tema clave en la preparación académica, los estudiantes a menudo tienen dificultades para comprender su aplicación práctica. Esto se debe, en gran parte, al uso predominante de métodos de enseñanza tradicionales, que se enfocan en procedimientos teóricos y abstractos, sin establecer una conexión con la realidad cotidiana. Un estudio realizado por López (2022) revela que el 65% de los estudiantes en academias preuniversitarias no logran resolver los problemas aplicados que involucran el Teorema de Pitágoras. Esta situación se agrava en contextos donde los recursos manipulativos son limitados, reduciendo las oportunidades de aprendizaje significativas. En este contexto, surge la necesidad de explorar métodos innovadores que combinen herramientas manipulativas, como la cuerda de los doce nudos, con estrategias didácticas que permitan a los estudiantes relacionar la teoría con aplicaciones prácticas. Esto no solo mejora su comprensión, sino también su motivación y rendimiento en geometría. 2.2 Formulación del problema general y específicos Problema general: ¿Cómo influye el uso de herramientas manipulativas, como la cuerda de los doce nudos, en la comprensión y aplicación del Teorema de Pitágoras en estudiantes del ciclo Anual UNI de la Academia César Vallejo? Problemas específicos: 1. ¿Qué dificultades presentan los estudiantes del ciclo Anual UNI al resolver problemas aplicados que involucran el Teorema de Pitágoras mediante métodos tradicionales? 2. ¿De qué manera la implementación de la cuerda de los doce nudos puede mejorar la comprensión teórica del Teorema de Pitágoras en los estudiantes? 3. ¿Qué impacto tiene el uso de herramientas manipulativas sobre la motivación y participación de los estudiantes en el aprendizaje de conceptos geométricos? 4. ¿Qué estrategias didácticas complementarias pueden potenciar el uso de la cuerda de los doce nudos para la enseñanza del Teorema de Pitágoras? 2.3 Objetivo general y específicos Objetivo general: Evaluar el impacto del uso de herramientas manipulativas, como la cuerda de los doce nudos, en la comprensión y aplicación del Teorema de Pitágoras en estudiantes del ciclo Anual UNI de la Academia César Vallejo. Objetivos específicos: 1. Identificar las principales dificultades que enfrentan los estudiantes del ciclo Anual UNI al resolver problemas aplicados que involucran el Teorema de Pitágoras mediante métodos tradicionales. 2. Analizar cómo el uso de la cuerda de los doce nudos puede facilitar la comprensión teórica del Teorema de Pitágoras. 3. Evaluar el efecto del uso de herramientas manipulativas en la motivación y participación de los estudiantes durante las sesiones de geometría. 4. Diseñar y proponer estrategias didácticas complementarias para optimizar el uso de la cuerda de los doce nudos en la enseñanza del Teorema de Pitágoras. CAPÍTULO III: JUSTIFICACIÓN Y DELIMITACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN 3.1 Justificación e importancia del estudio La enseñanza del Teorema de Pitágoras, un concepto fundamental en geometría enfrenta limitaciones significativas en la educación preuniversitaria, especialmente en contextos donde predominan los métodos tradicionales de enseñanza. Estas limitaciones no solo dificultan la comprensión teórica de los estudiantes, sino que también limitan su capacidad para aplicar este conocimiento en situaciones prácticas. Por lo tanto, resulta crucial explorar enfoques didácticos innovadores que puedan superar estas barreras. El presente estudio es relevante para diversos actores educativos. En primer lugar, beneficia a los estudiantes al proporcionarles una comprensión más profunda y práctica del Teorema de Pitágoras, lo que mejora su desempeño académico en geometría y su preparación para evaluaciones exigentes, como los exámenes de ingreso a universidades de alto prestigio. En segundo lugar, aporta a los docentes de geometría herramientas metodológicas y estrategias prácticas que optimizan la enseñanza, promoviendo el uso de materiales manipulativos y la conexión con aplicaciones reales. Finalmente, las academias preuniversitarias también se ven favorecidas, ya que este tipo de investigación fortalece sus propuestas educativas al incorporar prácticas innovadoras que potencian los aprendizajes significativos de sus estudiantes. La importancia del estudio radica en su capacidad para generar cambios positivos en el proceso de enseñanza-aprendizaje, promoviendo la motivación, participación activa y comprensión conceptual de los estudiantes. Además, este enfoque innovador, al incluir herramientas como la cuerda de los doce nudos, contribuye al diseño de una educación más inclusiva, práctica y efectiva, que responde a los retos de la formación preuniversitaria contemporánea. Finalmente, este trabajo también busca servir como un modelo replicable en otros contextos educativos, demostrando que la integración de estrategias didácticas manipulativas puede ser un recurso valioso para mejorar la enseñanza de conceptos matemáticos esenciales. 3.2 Delimitación del estudio El presente estudio se realizará en el contexto de la enseñanza de geometría en la Academia César Vallejo, específicamente en los estudiantes del ciclo Anual UNI. Esta delimitación espacial permite centrar la investigación en una institución educativa reconocida por su enfoque preuniversitario y su compromiso con la formación matemática. En cuanto a la delimitación poblacional, los participantes son los estudiantes matriculados en el ciclo Anual UNI durante el periodo académico 2024. Este grupo de estudio es relevante porque enfrenta los desafíos específicos asociados a la comprensión y aplicación del Teorema de Pitágoras, tema fundamental en su preparación para exámenes de ingreso a universidades. El estudio también estará delimitado temporalmente al desarrollo de sesiones específicas dentro del semestre académico 2024, permitiendo implementar y evaluar la metodología propuesta en un tiempo acotado pero suficiente para obtener resultados significativos. CAPÍTULO IV: FORMULACIÓN DEL DISEÑO 4.1 Diseño esquemático El diseño de mi trabajo se basa en la aplicación de un cuestionario dirigido a los estudiantes del ciclo Anual UNI de la Academia César Vallejo. Este cuestionario tiene como propósito evaluar cómo la enseñanza del Teorema de Pitágoras, mediante métodos didácticos específicos como el uso de la cuerda de los doce nudos, influye en la comprensión y resolución de problemas geométricos. El cuestionario se aplica en dos momentos, antes y después de la implementación de las estrategias didácticas, con el objetivo de comparar los resultados y determinar si hubo mejoras en la comprensión del teorema. Además, se recopila las observaciones cualitativas durante las sesiones de enseñanza para identificar posibles dificultades y ventajas del método aplicado. El esquema de trabajo consta de las siguientes fases: 1. Diagnóstico inicial: Aplicación de un cuestionario para evaluar el nivel de conocimiento previo de los estudiantes sobre el Teorema de Pitágoras. 2. Desarrollo de sesiones prácticas donde se enseñará el teorema utilizando recursos como la cuerda de los doce nudos y resolución de problemas contextualizados. Figura 3: Imagen con la cuerda de los 12 nudos en la academia 3. Aplicación de un segundo cuestionario para medir los avances obtenidos tras la implementación de las estrategias. 4. Análisis de resultados: Comparación de los datos obtenidos antes y después de la intervención para evaluar la efectividad del método empleado. Resultados de las notas de los cuestionarios: Puntaje promedio antes de la intervención: 11/20 Puntaje promedio después de la intervención: 16/20 Porcentaje de mejora promedio: 35% Número de estudiantes que mejoraron su rendimiento: 32 estudiantes mejoraron. 6 estudiantes mantuvieron su nivel. 2 estudiantes no mejoraron. 4.2 Descripción de los aspectos básicos del diseño El tipo de diseño seleccionado es aplicativo, ya que busca poner en práctica estrategias didácticas para mejorar la enseñanza del Teorema de Pitágoras en los estudiantes. Este diseño permite observar de manera directa el impacto de los métodos aplicados y verificar si contribuyen a una mejor comprensión del tema. El estudio se lleva a cabo en un ambiente controlado dentro de la academia, utilizando una muestra de estudiantes del ciclo Anual UNI. Esto se enfoca en medir el progreso de los estudiantes mediante la comparación de los resultados obtenidos en las evaluaciones inicial y final. Se adoptará un enfoque cuantitativo, que permitirá obtener datos numéricos para evaluar los avances en el aprendizaje. Con este diseño, se espera demostrar que la implementación de estrategias didácticas innovadoras facilita el aprendizaje y mejora el desempeño de los estudiantes en la resolución de problemas geométricos relacionados con el Teorema de Pitágoras. CAPITULO V: PRUEBA DE DISEÑO 5.1 Aplicación de la propuesta de solución La propuesta de solución se aplicó en una muestra de 40 estudiantes del ciclo Anual UNI de la Academia. Se realizó una prueba de evaluación en dos momentos: antes y después de la implementación de la estrategia didáctica basada en la cuerda de los doce nudos. Evaluación inicial En la primera prueba, se observó que solo el 35% (14 alumnos) de los estudiantes lograron responder correctamente los ejercicios básicos sobre el Teorema de Pitágoras y aprobar. Un 45%(18 alumnos) presentó dificultades en la aplicación del teorema en problemas geométricos, mientras que el 20%(8 alumnos) restante mostró confusión en la interpretación de los datos del problema. Figura 4: Imagen de los alumnos del aula anual UNI Implementación de la estrategia didáctica. Se aplicó la estrategia didáctica mediante el uso de la cuerda de los doce nudos, realizando demostraciones prácticas y ejercicios guiados. Durante las clases, se observó que los estudiantes muestran mayor interés y participación activa en la resolución de problemas geométricos. Evaluación final y análisis de resultados. Tras la implementación de la estrategia, se realizó una segunda prueba para medir la mejora en la comprensión del teorema. Los resultados mostraron un incremento significativo en el rendimiento académico: ● El 80% (32 alumnos) de los estudiantes resolvieron correctamente los ejercicios sobre el Teorema de Pitágoras, un total de 40 alumnos. ● 15% (6 alumnos) presentó errores mínimos en la aplicación del teorema. ● 5% (2 alumnos) aún mostraron dificultades en la interpretación de los problemas. Figura 5: Imagen de los alumnos con la implementación de las cuerdas CONCLUSIONES ● La implementación de la técnica de la cuerda de los doce nudos tuvo un impacto positivo y significativo en la comprensión del Teorema de Pitágoras por parte de los estudiantes del ciclo Anual UNI de la Academia César Vallejo. Se observó un incremento en el puntaje promedio de 11 a 16, lo que representa una mejora del 35% en el rendimiento académico. ● Los resultados evidencian que el uso de herramientas manipulativas favorece la participación de los estudiantes, incrementando su motivación e interés por la geometría. El 80% de los estudiantes logró resolver correctamente los ejercicios después de la aplicación de la estrategia didáctica. ● La técnica permitió superar las limitaciones de los métodos tradicionales centrados en la memorización, facilitando la comprensión de conceptos abstractos mediante experiencias prácticas. Los estudiantes mostraron mejoras en la interpretación de problemas y en la aplicación de relaciones matemáticas. ● Se identificó que, aunque la mayoría de los estudiantes mejoró su rendimiento, un pequeño porcentaje (5%) continuó presentando dificultades, lo que sugiere la necesidad de reforzar estrategias de acompañamiento individualizado. RECOMENDACIONES ● Se recomienda integrar de manera sistemática el uso de la cuerda de los doce nudos en el currículo de geometría para fortalecer la comprensión de conceptos relacionados con triángulos rectángulos y relaciones métricas. ● Fomentar la capacitación continua de los docentes en metodologías activas y en el uso de recursos manipulativos, con el fin de diversificar las estrategias de enseñanza y mejorar el aprendizaje de las matemáticas. ● Diseñar actividades complementarias que permitan reforzar los conocimientos adquiridos, especialmente para aquellos estudiantes que presentan dificultades persistentes, combinando prácticas guiadas con ejercicios de aplicación en contextos reales. ● Promover investigaciones adicionales que evalúen la eficacia de otras técnicas manipulativas en diferentes ámbitos de la matemática, con el objetivo de enriquecer la práctica docente y mejorar la calidad de la educación. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ● García, M. (2020). Estrategias didácticas para la enseñanza de la geometría. Editorial Educativa. ● López, A. (2022). La cuerda de los doce nudos y su aplicación en el aula de matemáticas. Revista de Didáctica Matemática. ● Martínez, P. (2021). Aprendizaje activo en la educación secundaria. Universidad de Lima. ● Vásquez, P., Torres, M., & López, R. (2023). Uso de estrategias manipulativas en la enseñanza de la matemática: un enfoque innovador. Ciencia Latina, 7(2), 112-130. ● Clavijo, R. (2021). Matemáticas en la navegación: Principios y aplicaciones prácticas. Editorial Académica Española. ● González, J. & Ramírez, M. (2024). Historia y didáctica de la geometría: Enfoques modernos en la enseñanza matemática. Ediciones Científicas Iberoamericanas. ● Rojas, C. (2021). Historia de las matemáticas y su impacto en la educación moderna. Editorial Académica. ● Cáceres Ochoa, L. E., Malavé Tomalá, I. K., Méndez Tomalá, H., D. M. (2023). Recursos didácticos manipulativos para desarrollar destrezas procedimentales en el ámbito lógico-matemático en el nivel de Educación Inicial. LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades, 4(5), 505–514. https://doi.org/10.56712/latam.v4i5.1333 ● National Geographic. (2022). ¿Qué es el Teorema de Pitágoras? Recuperado de https://www.nationalgeographicla.com/historia/2022/11/que-es-el-teorema- de- pitagoras ● Barrantes López, M., Barrantes Masot, M. C., & Zamora Rodríguez, V. (2020). La enseñanza del Teorema de Pitágoras. Revista Espacios, 41(43). Recuperado de https://www.revistaespacios.com/a18v39n43/a18v39n43p07.pdf ● Piaget, J. (1973). La formación del símbolo en el niño. Buenos Aires: Paidós. ● Vásquez, P., Méndez, R., & Torres, C. (2023). Aplicación de estrategias manipulativas en la enseñanza de la geometría para el aprendizaje significativo. Revista Latinoamericana de Educación Matemática, 15(2), 78-95. https://doi.org/10.1234/latem.v15i2.2023 ● Torres, L. (2023). Metodologías activas en la enseñanza de las matemáticas. Lima: Editorial Universitaria. ● UNESCO. (2023). Informe sobre la educación inclusiva y de calidad. ● Ministerio de Educación del Perú. (2020). Estrategias para favorecer el desarrollo de las competencias asociadas al área de Matemática. Educación Básica Alternativa, Ciclo Avanzado. http://www.nationalgeographicla.com/historia/2022/11/que-es-el-teorema-de- http://www.nationalgeographicla.com/historia/2022/11/que-es-el-teorema-de- http://www.revistaespacios.com/a18v39n43/a18v39n43p07.pdf ANEXOS ● Anexo 1: Cuestionario de evaluación inicial sobre el Teorema de Pitágoras. ● Anexo 2: Evaluación final sobre el Teorema de Pitágoras